Discussion:Théorème central limite

Appellation bizarre

L'appellation (bizarre) théorème central limite calque mot à mot l'anglais central limit theorem, lequel signifie littéralement théorème de la limite centrale (l'adjectif se rapportant à limit et non à theorem) ; dans une langue proche du français, telle que l'italien, la seule appellation usuelle est teorema del limite centrale, c'est-à-dire théorème de la limite centrale, qu'on peut rendre également par théorème de la limite centrée. On s'intéresse en effet à la loi limite de variables aléatoires centrées (et réduites) . Vivarés 2 novembre 2005 à 14:55 (CET)

L'appelation qui est donnée à ce théorème dans divers livres est la suivante: Le théorème "CENTRAL LIMIT" tout simplement Feeder Fan 19 mai 2006 à 22:37 (CEST)

Dans divers livres on utilise donc tout simplement un anglicisme.Jct 20 mai 2006 à 10:57 (CEST)

Justement, si on utilise une anglicisme, c'est simplement que l'on a pas de traduction correcte (qui n'est pas vide au sens mathématique) en français. C'est Polyà qui, en 1920 a désigné ce théorème par le nom de zentral Grenzwertsatz traduit en anglais puis en franglais. Mais pour moi la limite centrale ne veut pas dire grand chose même si on s'intéresse à des variables aléatoires centrées et réduites. Feeder Fan 20 mai 2006 à 16:53 (CEST)

En fait, l'appellation "théorème central limite" est certes bizarre mais néanmoins plus proche de l'"esprit" du théorème que l'appellation "théorème de la limite centrale". En effet, en anglais, l'adjectif se rapporte à "theorem" et non à "limit". C'est le théorème qui est central! Une traduction plus "française" serait "théorème central de la limite"

L'expression a en réalité été forgée par Polya (en allemand), puis importée en anglais. Le titre de l'article de Polya lève toute ambigüité: c'est bien le théorème qui est "central" au sens de "fondamental".George Polya "Über den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und das Momentenproblem," Mathematische Zeitschrift, 8 (1920), 171-181 Ogaret, le 20 décembre 2006

En effet, je vote pour un changement vers "théoreme central de la limite". Le même genre de discussion a lieu sur la page anglaise.

Le contenu du théorème montre que « théorème de la limite centrée » est l'expression la plus pertinente. Jct 6 avril 2007 à 09:33 (CEST)

Mon prof de probas a été demander à Polya dans sa jeunesse et celui-ci lui a explicitement dit qu'il s'agissait du théorème qui était central et non la limite. L'expression consacrée en français est le "théorème central limite", je propose donc de changer l'introduction, qui est non seulement fausse, mais en plus prétentieuse vis-à-vis du terme correct

Ce théorème est sans aucun doute fondamental, comme bien d'autres. Dire que la limite n'existe que pour une valeur centrée (cet adjectif me paraît préférable à centrale) me semble fournir une information plus pertinente. Jct (d) 22 janvier 2008 à 10:31 (CET)

D'après un article de Le Cam (Le Cam L., "The central limit theorem around 1935", Statistical science 1 No.1, 1986, pp.78-96) l'expression est due à Polya et est en effet allemande : zentralen Grenzvertsatz, elle signifie : Théorème établissant une limite jouant un rôle central en théorie des probabilités. Ce qui est central, c'est le théorème et non la limite. A partir de là, il est clair que l'expression la plus correcte serait "Théorème central limite". Il s'agit de la traduction mot-à-mot de l'expression allemande, "Théorème central de la limite" serait sans doute meilleure, mais l'usage en a décidé autrement. L'argument suivant lequel on centre la variable aléatoire n'est pas recevable car en réalité on centre (en effet) mais on réduit également la variable aléatoire. Par ailleurs, le théorème donne les conditions de convergence "En Loi" et non en "probabilité" comme il est dit dans l'article. A mon avis ces deux points devraient être corrigés dans cet article par ailleurs excellent. dp

Je propose de renommer l'article et les chapitres, et de faire une redirection depuis "Théorème de la limite centrale" et "théorème limite central". Il me semble dommage de garder une mauvaise traduction comme titre de cet article. Kreutoreuk (d) 20 avril 2009 à 19:18 (CEST)

Il serait souhaitable de préciser, pour ce théorème qui concerne une limite, en quoi il est plus central que, par exemple, les théorèmes regroupés sous le nom de loi des grands nombres. Il faudrait également indiquer la signification du nom féminin limite. En attendant, l'expression couramment utilisée en français continuera à me paraître inintelligible. Jct (d) 22 avril 2009 à 10:54 (CEST)

J'ai rajouté le nom du document scientifique écrit par George Pólya en 1920 Über den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und das Momentenproblem auquel fait référence le nom du théorème. Je me propose d'expliquer la traduction en français du titre de ce document: Über [den zentralen [Grenzwertsatz] [der Wahrscheinlichkeitsrechnung]] und [das Momentenproblem]. C'est un document sur un théorème et un problème (über einen Satz und ein Problem). Ces théorème et problème sont respectivement un théorème concernant la notion de limite, sur la [notion de] limite (Grenzwertsatz) et le célèbre problème des moments (Momentenproblem). Comme les différents théorèmes ou propriétés de la limite peuvent se situer dans des branches différentes des mathématiques, l'auteur a tenu à préciser qu'il s'agit ici d'un théorème de la branche du calcul [relatif à la notion] de probabilité, c'est-à-dire du calcul probabiliste (Wahrscheinlichkeitsrechnung) et ce théorème est selon lui central (zentral), c'est-à-dire principal ou important, dans cette branche. C'est donc un théorème central du calcul probabiliste (zentraler Lehrsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung), parmi les théorèmes qui concernent la notion de limite (zentraler Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung). Par conséquent, il s'agit d'un document sur le théorème central du calcul probabiliste, relatif à la notion de limite, et le problème des moments. La présence d'un adjectif en français qui signifierait « relatif à la notion de limite », par exemple « limitesque » (mot volontairement grotesque), permettrait une traduction plus directe : sur le théorème limitesque central du calcul probabiliste et le problème des moments. En aucun cas on ne fait référence à un « théorème limite », comme on peut parler d'une « dose limite » (Grenzdosis) (Grenzwertsatz ne signifie pas Grenzsatz, mais signifie théorème sur la valeur à la limite). En aucun cas le mot central ne se rapporte au mot limite (l'adjectif ne se rapporte pas au complément du nom mais au nom lui-même: théorème central sur la valeur à la limite) Chezistari (d) 14 décembre 2010 à 11:22 (CET)

Cet article n'a jamais été traduit ? GL (d) 14 décembre 2010 à 11:47 (CET) 

Si, cet article a été traduit en américain, car George Pólya a fait sa carrière au États-Unis et ce terme a été traduit par « central limit theorem ». Or l'anglais, comme le français, a besoin de prépositions pour être clair (c'est une langue analytique), au contraire de l'allemand qui compose les mots et possède des déclinaisons (c'est une langue synthétique, comme le grec ancien ou le latin). Conclusion: le terme est mal traduit car il ne décrit pas précisément ce qu'il signifie véritablement en langue allemande et rend les anglophones confus « central limit theorem »: What does it mean? Central limit? Limit theorem? Lis les dicussions de wikipedia en langue anglaise, c'est révélateur ! Ensuite, comme le monde universitaire est anglophone, on a tenté de traduire cette mauvaise traduction en français. À vrai dire, assez justement, car les anglophones pensent en premier abord à « théorème de la limite centrale ». Mais, ça ne veut rien dire, car une limite, si elle existe, est unique donc on ne peut la qualifier de « centrale ». Donc les anglophones comprennent en deuxième abord que c'est le terme « limit theorem » qui est « central ». Ils en déduisent qu'il s'agit d'un « central theorem on limits ». Et puis, si tu lis Wikipedia en allemand, tu te rends compte qu'eux ne sont pas choqués, tout est clair. Le titre du document est là. Son sens est limpide. Il n'y a pas de discussion. Je ne sais pas si tu parles allemand, mais je vais essayer de te faire sentir via des mots néolatins ce qu'il disent: « Limevaluthéorème central du probacalcul ». Je sais, ça choque... Chezistari (d) 14 décembre 2010 à 15:12 (CET)

Oui, je parle allemand. Quoi qu'il en soit, tout ça est certes très intéressant mais ma question était évidemment « cet article n'a jamais été traduit en français ? » Je ne sais pas quand le nom « théorème central limite » s'est répandu mais le monde universitaire n'était certainement pas universellement anglophone dans les années 1920. GL (d) 14 décembre 2010 à 15:21 (CET) 

En ce qui concerne la traduction de ce texte en français, je ne peux pas t'aider, car tous les professeurs qui m'ont récemment enseigné ce théorème en France à Centrale ne m'ont parlé que du terme anglais « central limit theorem », des termes francisés « théorème central limite », « TCL » ou « théorème de la limite centrée reduite ». C'est personnellement au cours de mes études en Autriche que j'ai découvert le terme en allemand et en particulier lors mes recherches pour la réalisation de mon mémoire en allemand ayant rapport au calcul probabiliste que je me suis servi de ce document: http://www.springerlink.com/content/u8820r1512732386/ et là tu peux voir qui le cite: http://www.springerlink.com/content/u8820r1512732386/referrers/. Je n'ai pas fait l'étude de la diffusion de ce terme. Je n'ai fait que de parler de celui-ci en France et en Autriche avec mes professeurs successifs (environ 7 en France et 3 en Autriche, dont mon tuteur pour la rédaction de mon mémoire). J'aimerai bien aussi savoir d'où sort ce terme. Mes professeurs en France étaient conscients du problème, c'est pourquoi on parlait de la limite centrée réduite, qui elle au moins a du sens. Chezistari (d) 14 décembre 2010 à 17:13 (CET)

Erreur

Je n'ai pas regarder plus en détails, mais lorsque je substitue directement la valeur ${\overline {X}}_{n}=S_{n}/n$ dans l'expression de $Z_{n}$ à la section Démonstration du théorème de la limite centrale, je ne retrouve pas l'expression de $Z_{n}$ de la section précédente. Bref je crois qu'il y a un $n$ de trop en facteur multiplicatif de $\mu$ --Bourrine 21 juin 2007 à 09:27 (CEST)

Merci, il s'agit d'un ajout malencontreux passé inaperçu d'une IP le 17 juin 2007. HB 21 juin 2007 à 14:16 (CEST)

probleme de notions

en 4eme année de fac de math, on appelle ce theoreme TCL, le fait que ce soit un sigle francais, anglais ou frangais importe peu, du moment où on sait de quoi on parle.Un raisonnement par l'absurde pourrait peut-etre remettre les idées en place: Quelqu'un pourrait-il m'expliquer ce qu'est une limite centrale? cette expression n'a,à mon sens, aucun fondement, une limite est une valeur vers laquelle tend une fonction, une loi, etc,l'expression "limite centrale" est donc redondante, ce qui serait curieux pour des mathématiciens, de manquer de rigueur à ce point. En revanche, ce theoreme est bien central dans la theorie des probabilités, puisqu'il traite du comportement des lois quand le nombre d'experiences tend vers l'infini, i.e. ce theoreme traite de la limite, et il est central. Je pencherais donc plus pour le terme " THEOREME CENTRAL DE LA LIMITE " afin d'eviter toute confusion linguistique.

Intérêt de ce théorème

Dans ce cas, on aura plutôt affaire à un produit de variables aléatoires positives et à la convergence vers une loi log-normale. Ceci contredit l'essentiel du paragraphe selon lequel l'approximation normale est utilisée, y compris lorsqu'il y a des valeurs négatives (ou autres) de très faible probabilité. --Jct (d) 16 janvier 2008 à 10:58 (CET)

Version vectorielle

Le paragraphe 3.1 n'a pas été traduit car il ne paraît pas apporter beaucoupd'information.Jct 29 avr 2005 à 09:46 (CEST) Même si ça n'apporte "pas beaucoup d'informations", on ne peut pas l'oublier. Il n'apporte pas beaucoup d'informations supplémentaires parce que ça concerne les vecteurs aléatoires. Mais il est bel et bien utilisable. Miaoui

Le 29 avril 2005 j'avais traduit une bonne partie de l'article anglophone alors que l'article francophone était quasi-vide. Je ne me rappelle pas les détails mais il s'agissait alors, selon moi, d'un verbiage sans intérêt qui n'avait rien à voir avec les vecteurs aléatoires. Quatre ans plus tard, ma remarque et la remarque sur la remarque sont donc tout simplement sans objet. Jct (d) 24 mai 2009 à 12:07 (CEST)

Renommage

J'ai renommé l'article au vu de la discussion ci-dessus, des résultats de recherches Google Books et, accessoirement, de mes cours de statistiques. GL (d) 4 novembre 2009 à 15:03 (CET)

Excellente initiative qui me semble correspondre à l'usage majoritaire.--Chassaing 4 novembre 2009 à 17:44 (CET)

Erreur dans la formule du théorème central limite ?

dans la formule du TCL, ne doit-on pas plutôt avoir $\sigma /{\sqrt {n}}$ au dénominateur au lieu de $\sigma {\sqrt {n}}$?

mais il y a précisément $\sigma /{\sqrt {n}}$ !! Car, au numérateur, apparait la moyenne empirique , laquelle tend vers la moyenne, d'après la loi forte des grands nombres. Ainsi le numérateur tend vers 0, et la renormalisation doit donc tendre vers 0 elle-même (comme le fait effectivement $\sigma /{\sqrt {n}}$) pour que le quotient ait une limite non triviale. Ainsi la vitesse de convergence dans la loi forte des grands nombres est d'ordre $\sigma /{\sqrt {n}}.$

à moins que tu parles de la définition de Z_n, qui est parfaitement correcte aussi ... --Chassaing 9 avril 2010 à 00:59 (CEST)

Limite de $S_{n}$

La phrase " De plus, pour parler de manière informelle, la loi de $S_{n}$ tend vers la loi normale ${\mathcal {N}}(n\mu ,n\sigma ^{2})$ quand n tend vers l'infini" me froisse. En effet, même sous l'excuse que l'on parle de manière informelle, c'est pour moi une horreur de lire qu'une limite à l'infini puisse dépendre de n. Même si garder cette notion en tête est assez pratique, je serais d'avis, soit d'effacer la phrase, soit d'utiliser à la place des expressions 'informelles' telles que "n très grand". Qu'en pensez-vous?

argh, effectivement. je tente une reformulation. HB (d) 11 janvier 2011 à 09:40 (CET)

j'ai reformulé la reformulation. N'hésitez pas à réverter ou à modifier encore. Chassaing 11 janvier 2011 à 10:51 (CET)

Intro

Chassain, je ne comprend pas ta révocation. Le texte actuel dit que

"La première démonstration de ce théorème, en 1812, est due à Pierre-Simon de Laplace, mais le cas particulier où les variables suivent la loi de Bernoulli de paramètre p = 0,5 était connu depuis les travaux de De Moivre" (j'ai juste enlevé les références) ,

ce qui est partiellement faux : Laplace n'a pas démontré le TCL, mais un cas particulier de celui-ci (le cas où les variables suivent des lois de Bernoulli). Mon texte

"Une première démonstration de ce théorème, en 1733, est due à De Moivre dans le cas particulier où les variables suivent une loi de Bernoulli de paramètre p = 0,5, résultat généralisé à n'importe quelle valeur de p par Pierre-Simon de Laplace en 1812."

corrige cette erreur, et apporte une info supplémentaire (la démo par De Moivre date de 1733) sans en enlever aucune. Du coup, pourrais-tu me préciser les raisons de ta révocation ?

d'après Stigler, Laplace généralise d'abord à Bernoulli (p) vers 1780 ou 1790, je ne me rappelle plus, mais c'est bien la version générale que Laplace énonce dans son livre publié en 1812. Il la démontre aussi à cette époque, d'après Stigler. Laplace énonce aussi une version multi variée. C'est ce malentendu qui fait que tu crois ajouter alors que tu enlèves. Sinon je suis evidemment d'accord sur le fait que le théorème de de Moivre Laplace est essentiellement un TCL (un cas particulier en tout cas), mais, du point de vue de la clarté, pour le béotien, comme il porte officiellement le nom de « théorème de de Moivre Laplace  », dire que de Moivre démontre le TCL, alors que de Moivre démontre en fait le « théorème de de Moivre Laplace  » dans le cas particulier 0.5, Laplace finissant la démonstration en 1780-90, ça peut troubler le béotien. La formulation précédente disait, à raison si l'on en croit Stigler, que Laplace démontre bien le vrai TCL, et contrairement à ta formulation, la version precedente n'introduit pas d'ambiguite entre TCL d'un coté, « théorème de de Moivre Laplace  » de l'autre. En effet ta première phrase «  Une première démonstration de ce théorème, en 1733, est due à De Moivre » dit que de Moivre démontre le TCL : la première démonstration du TCL tel que tout le monde l'utilise est due à Laplace, le TCL qu'il faut connaître si on n'en connaît qu'un est le TCL général dont cette page parle, et non pas le théorème de de Moivre Laplace, qui a sa propre page et que de Moivre démontre en 1733. Mentionner la demonstration de de Moivre vient après, en insistant sur le fait que c'est un cas très particulier qui est traité par de Moivre, dans ma version précédente, pour éviter ces ambiguïtés et insister d'abord sur le TCL général. On peut rajouter 1733 sans modifier ce que j'avais fait, d'ailleurs je le fais immédiatement. Ce n'est pas une critique majeure de ta formulation, c'est une volonté de clarté, mais, dessous, il y a le fait que Laplace a démontré le TCL général, si j'ai bien lu Stigler. Chassaing 16 juillet 2012 à 16:21 (CEST)

je crois bien que dans le Stigler d'ailleurs, il y a un fac simile des deux pages du livre de Laplace ou figurent le TCL général ainsi que la version multi variée ... Mais je ne l'ai pas sous la main aujourd'hui, peut-etre demain. J'indiquerai la page precise des que possible. Autre remarque : c'est mieux de signer les contributions en page de discussion à l'aide de 4 tildes consécutifs, voir pages d'aide Wikipédia. Bien cordialement, et merci pour tes contributions par ailleurs :-) Chassaing 16 juillet 2012 à 16:31 (CEST)

Ai repris Le Stigler et confirme que ma mémoire fonctionne, voir pages 136-144, le TCL étant dans un mémoire à l'académie de 1809 1810, et le multi varié dans le Théorie Analytique de 1812 .... Chassaing 17 juillet 2012 à 15:14 (CEST)

Date

Le théorème central limite vectoriel, dû à Pierre-Simon de Laplace, parait en 1812 ou en 1814, dans Théorie analytique des Probabilités. Quoiqu'il en soit, il apparait bien page 324 de la version Google Book scannée sur un exemplaire edité en 1814, et étant la deuxième édition, apparemment. Ce qui semble contredire la biblio de Stigler (qui dit 1812 et 3eme édition ...) Voila voila, que dire que faire ... Chassaing 18 juillet 2012 à 01:03 (CEST) "deuxième edition revue et augmentée par l'auteur" cela signifie-t-il de facto troisième édition ?? Chassaing 18 juillet 2012 à 01:05 (CEST)

Je crois bien que pour dater l'origine d'un livre, on donne la date de sa première édition, ici 1812. Ensuite si on veut mettre une référence précise, on indique l'édition sur laquelle on travaille. Il existe semble-t-il au moins trois éditions de l'œuvre 1812[1], 1814 ou seconde édition[2] et 1820 ou troisième édition[3]. Cependant, je ne décèle dans aucune des trois pages 324 [4], [5], [6] un énoncé clair du TCL. Est-ce incompétence de ma part à comprendre le vocabulaire de Laplace ou bien erreur de numérotation de la tienne? HB (d) 18 juillet 2012 à 08:07 (CEST)

ce n'est pas un énoncé clair, l'emphase étant sur clair, mais c'est un énoncé et aussi une méthode de preuve qu'y voit Stigler, et je me réfugie derrière son autorité (moi aussi, en regardant vite, j'y vois quelque chose qui ressemble, quand même, p.e. une intégrale double de densité de vecteur gaussien ...) et c'est bien la même page 324 dans le Google Book 1814 et dans le livre de Stigler page 144. Chassaing 18 juillet 2012 à 13:55 (CEST)

c'est bien ce que je craignais : manque de compétence ..... De plus je cherchais un vecteur à n dimension...... Enfin concernant l'édition, tu peux sourcer avec l'édition de 1812 où on retrouve la même page [7], on retrouve également le même texte dans la troisième édition mais pas avec la même pagination[8] dans le livre que j'ai trouvé mais cela ne veut rien dire si je ne consulte pas la même version que Stigler. Le mieux est peut-être de sourcer par des éléments immuables Livre II, chapitre IV section 21HB (d) 18 juillet 2012 à 14:41 (CEST)

OK grand merci ! Chassaing 18 juillet 2012 à 14:54 (CEST)

Somme de variables aléatoires

Si je prend n variables aléatoires qui suivent une loi de Bernoulli, alors, elles sont définies sur un ensemble à 2 éléments : {pile,face} par exemple. Mais alors, si je me réfère à la définition d'une somme de fonctions, la somme de mes n variables aléatoires est aussi définie sur {pile,face} et ne peut donc prendre au plus que 2 valeurs. Comment dans ce cas une telle somme pourrait-elle être approchée par une Gaussienne ?

Bonjour, D'abord, je vais répondre à la question concernant le jet de pièce (pile ou face). Il y a plusieurs façon de traiter cela, soit on attribue à Pile le chiffre 0 et à Face le chiffre 1 et on s'intéresse aux mots constitués des suites consécutives de résultats, par exemple 6. On forme ainsi une succession de nombres binaires, un peu comme si on avait tiré avec un dé à 2^n faces. Une autre méthode consiste à faire plusieurs parties et d'observer les résultats.

Concernant la définition. Autrefois elle était claire, quelle que chose du genre "soit une expérience constituée de mesures ou d'observations d'une même chose, par les mêmes moyens et mêmes procédures, alors la valeur la plus probable de la chose mesurée ou observée est la moyenne arithmétique des mesures, on appelle écart-type la moyenne quadratique des écarts à la moyenne et la répartition des écarts à la moyenne suit la courbe de Gauss, représentative de la loi Normale". Je trouve la présente définition incompréhensible, les formules n'ont rien à faire dans une définition. Cela m'intéresserait de connaitre les motifs de ce changement. D'ailleurs, dans la définition, on parle de "plusieurs variables", en fait il s'agit naturellement de "plusieurs valeurs d'une même variable", sinon, cela n'a aucun sens.--Dlzlogic (discuter) 26 août 2017 à 12:02 (CEST)

Condition de Liapounov pas assez générale

La formulation de cette condition n'est pas assez générale. En comparant avec la version anglaise, on voit que l'énoncé dans son état actuel est un cas particulier pour $\delta =1$. Il faudrait le rédiger avec ce paramètre $\delta$.

A propos de la dénomination

Je me suis permis de faire quelques modifications sur l'article, notamment sur le terme impropre qui ne me parait pas neutre (il y a des milliers d'exemples de dénominations qui ne suivent pas la dénomination historique, ce n'est pas pour ça qu'elles sont impropres).

De plus, cela ne me paraissait pas pertinent de discuter de cela dans l'introduction à ce sujet. J'ai donc déplacé (et essayé de rendre plus neutre) toute la discussion dans une partie dédiée. J'ai aussi rajouté une source pour la dénomination théorème limite central, je peux en ajouter d'autres si besoin.

--Valvino ^(discuter) 17 avril 2020 à 19:32 (CEST)

toute somme de variables aléatoires indépendantes tend dans certains cas vers une variable aléatoire gaussienne.

Bonjour,

Dans le premier paragraphe en introduction, il est écrit : "Intuitivement, ce résultat affirme que toute somme de variables aléatoires indépendantes tend dans certains cas vers une variable aléatoire gaussienne."

N'est-ce pas incohérent de commencer la proposition par "toute somme ..." et de la finir par "dans certains cas" ? Qu'est-ce que c'est que ces certains cas qui ne font pas partie de toute somme ?

Je pense qu'il faudrait supprimer le "dans certains cas" ou alors expliquer plus clairement ce qui a voulu être énoncé ici.

Thomas debeuret

Expression informelle troublante dans l'introduction

Bonjour,

Je me demande ce que veut dire "le plus souvent" dans l'intro.

J'ai deux hypothèse :

• Cela veut dire que c'est presque sûr au sens probabiliste. Dans ce cas, pourquoi ne pas mettre "presque sûrement" ?
• Cela veut dire que l'intro est trop résumée, qu'il manque une hypothèse technique. Mais dans ce cas la quantification est très curieuse car elle sous-entend qu'il y a de rares exceptions (non spécifées) et je doute que l'on puisse qualifier quelque chose de rare dans ce contexte...

Laurent 2A01:CB04:EE1:1000:7D05:DA88:C651:41CC (discuter) 10 juillet 2023 à 18:37 (CEST)